Multiplicación de polinomios
Identificar:
El producto de polinomios se obtiene multiplicando cada término del primero por el segundo y reduciendo luego los términos semejantes. De este modo obtenemos el polinomio resultante.
Aplicar:
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del. segundo polinomio.
Se suman los monomios del mismo grado (suma de términos semejantes) y obtenemos: 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x.
El polinomio obtenido es otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios.
Este proceso permite realizar multiplicaciones
con polinomios y puede ser de multiplicaciones entre monomios con polinomios o
polinomios con polinomios.
Multiplicación entre monomios y polinomios:
Parecido a una multiplicación normal, lo que se tiene que realizar es
una multiplicación, entre el monomio con todos los términos del polinomio,
multiplicando tanto los coeficientes como las variables con sus respectivos
exponentes (para los exponentes se sigue las leyes de exponentes). También las
leyes de signos cuentan aquí.
Aquí un ejemplo: 2x *
(7x^2 + 4x + 9) [(^2)
= elevado al cuadrado)]1° Primero, debemos multiplicar el coeficiente del
monomio por todos los coeficientes de los términos del polinomio.
2x * (7x^2 + 4x + 9)
2 * (7,
4, 9) = 14,
8, 18
2° Después, se tiene que multiplicar las variables y sus exponentes (si
tienen) del monomio por el de los términos del polinomio.
2x * (7x^2
+ 4x + 9)
x * (x^2, x, -) = x^3, x^2, x
RECUERDEN QUE LAS LEYES DE EXPONENTES DICTAN QUE EN
UNA MULTIPLICACIÓN, SE SUMAN LOS EXPONENTES Y EN UNA DIVISIÓN SE RESTAN.
3° Finalmente, se juntan los resultados para obtener el resultado final.
14x^3 + 8x^2 + 18x
Multiplicación entre polinomios y polinomios:
Parecido a la multiplicación de monomios con polinomios y a la básica,
lo que se tiene que realizar es una multiplicación de todos y cada uno de los
términos de un polinomio con los del otro polinomio.
Pongamos el siguiente ejemplo: (3x
+ 6) * (x^2 - 5x + 8)
1° Primero, debemos multiplicar el coeficiente del primer término (con
variables) del primer polinomio por todos los coeficientes de los términos del
otro polinomio.
3x * (x^2,
-5x, 8) = 3x^3, -15x^2, 24x
2 Después, hacemos lo mismo pero ahora con el
término faltante del primer polinomio.
6
* (x^2, -5x, 8) = 6^2, - 30x, 48
3° Finalmente, juntamos los resultados
mediante una suma.
3x^3 -15x^2 24x
6x^2 -30x 48
3x^3 -9x^2 -6x 48
Por lo que el resultado es: 3x^3 - 9x^2 - 6x + 48
Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio da como resultado otro polinomio, el cual tiene el mismo grado del polinomio que se multiplicó y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
A continuación se resolverá un ejemplo:
Primer ejemplo:
3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³
3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x²
3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x
3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se pueden llevar a cabo de dos formas distintas. A continuación vamos a trabajar con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x² − 3 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Primera opción
1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x
2 Se suman los monomios del mismo grado (suma de términos semejantes) y obtenemos:
4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3 El polinomio obtenido es otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplicaron.
Grado del polinomio resultante = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
Segunda opción
También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.
1En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos
los monomios del primer polinomio.
los monomios del primer polinomio.
2 Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman
los monomios semejantes.
los monomios semejantes.
3Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado
como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
Observamos que ambos métodos brindan la misma solución.